具象と抽象と

　算数は主に具象的なものを扱う。数学は主に抽象的なものを扱う。そんなことを再認識した。

　現在小学校5年生の娘が、ひょんなことから、もしかすると中学を受験するかもしれないことになった。私は学問に関しては本人の自覚に任せてよいと思っていたので（音楽は別）、これまで勉強は放任してきた。今からでも間に合うのか。かなりヤバいかも。

　取敢えず過去の入試問題でも見てみよう、と問題集のページをめくると、やはり結構手強そう。最初の計算問題が、問題用紙の横一杯に長い。今まで塾にも行ったことがなくて、分数の加減乗除もまだやっていないという、超原始的な娘にどうやって教えればよいのか。

　ひとつひとつ教えて行くしかない。しかし、変なところで躓く。例えば、 A-□=B のような形になって、Aを両辺からひいて -□=B-A にする、というところで、どうも納得できない様子。娘　「この一番左の"-"は何？！」　私「へ？何ってマイナスだよ。」　娘「？？？」。そうか。これまでは"-"というのは「何かから何かをひく」というアクションを表す演算子として理解していたので、被演算対象が無くなってしまうと混乱するのだ。さてこれをどう教えるか。１）数直線を書き、0を境に、「左側はマイナスの世界、右側はプラスの世界。マイナスの世界の数字には、数字の前に符号"-"が付く」、と教える。２）"-"のつく数字は、「ある数字に"-1"をかけたもの」、という、単項演算子として教える。1)は算数の領域、2)は数学の領域だろうか。でも、両方必要。

　抽象的な操作に慣れてしまっていると、却って具象は難しい。うっかり娘に、「だから移項して」とか言ってしまって、顰蹙を買った。移項は操作法であり本質ではない。「お母さんは教え方が下手だ。」と言われる。まったくだ。ごめんなさい。「何で、掛け算割り算を先にやって、足し算引き算は後なの？」という根本的な質問にもたじろぐ。「掛け算割り算は同じ項としてまとめられるけど、足し算引き算は別物なんだ。」「項って何？」「うーん、塊みたいなものかな...」とか言ってみるが、何だか全然説明になっていない。

　でも、このように改めて根源的なことを考えるのは、結構面白い。以下雑感。

• 　抽象的な思考、操作は、生産性を飛躍的に向上させる。

• 　しかし抽象化したレヴェルで閉じてしまうのはよくない。具象的なものとの相互作用や関連付けが必要。

• 　具象と抽象は、現実と仮想に通じるのかも。